CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH GIẢI

      61

Tích phân là gì? Phương pháp tính tích phân và các dạng toán

Khái niệm tích phân cũng như phương pháp tính tích phân là chương trình Toán 12 vô cùng quan trọng có trong các đề thi quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN


1. Tích phân là gì?

Bạn đang xem: Tích phân là gì? Phương pháp tính tích phân và các dạng toán

Tích phân có 2 định nghĩa tương đương nhau. Đó là định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz và định nghĩa theo giới hạn. Phần định nghĩa theo giới hạn chúng ta sẽ không đề cập ở đây. Các em có thể đọc thêm trong sách giáo khoa.

Bạn đang xem: Các dạng tích phân và cách giải


Định nghĩa tích phân theo công thức Newton-Leibniz “có vẻ” hình thức nhưng dễ vận dụng vào bài tập hơn. Cụ thể:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn và F(x) là một nguyên hàm nào đó của hàm số y=f(x) trên . Khi đó:

*

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp phân tích

Với phương pháp này bạn có thể sử dụng các đồng nhất các công thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân trở thành tổng của các hạng tử.

*

Bài 2:

Tính tích phân sau:

*

Bài 3:

Tính tích phân

*

Bài 4:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)

b. f(x)= sin(4x).cos2(2x)

c. 

*

d. f(x) = (ex – 1)3

 

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x3 – 11x2 + 6x – 1

Suy ra

*

b. Ta có:

*

Suy ra:

*

c. Ta có:

*

Suy ra:

*

d. Đối với bài này, bạn đọc có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm. 

Đặt t=ex

Suy ra: dt=exdx=tdx, vì vậy 

*

Ta sẽ có:

*

*

Với C’=C-1

Bài 5:

Tính một số nguyên hàm sau:

*

Hướng dẫn giải:

*

*

*

Bài 6:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:

*

Tính tổng P=a+b?

Hướng dẫn giải:

Bài này là sự kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu (đa thức)x(hàm logarit). Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.

Xem thêm: Cách Copy Văn Bản Vào Usb Đơn Giản, Cách Lưu Dữ Liệu Vào Usb Đơn Giản

Ta có:

*

Bài 7:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(3)=3, tích phân: . Hãy tính: 

*

Hướng dẫn giải:

Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:

*

Lại có:

*

Bài 8:

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn

b. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên , gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên

 

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

*

b. Tính chất của tích phân:

*