Cách giải toán ma trận

      17

Bài viết này tieudung24g.net giới thiệu đến bạn đọc định hướng cùng hạng của ma trận kèm các ví dụ và phân loại các dạng tân oán từ bỏ cơ phiên bản cho nâng cấp về hạng của ma trận:

*

1. Tìm hạng của ma trận mang đến trước

lấy một ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

lấy một ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ kiếm tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và

Do đó $r(A)le 2.$ Mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

ví dụ như 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bởi phương thức định thức bảo phủ.

Bạn đang xem: Cách giải toán ma trận

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra các định thức cấp 4 bao bọc định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

lấy một ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét những định thức cung cấp 5 bao bọc định thức cung cấp 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$gồm hạng bé dại duy nhất.

*

lấy một ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$tất cả hạng bé dại độc nhất.

*

ví dụ như 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ tuổi duy nhất, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

ví dụ như 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ Chứng minc rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

lấy ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

lấy một ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

lấy một ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

lấy ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

lấy ví dụ như 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ độc nhất vô nhị.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (độc giả trường đoản cú kiểm tra).

lấy ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bằng 2.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Coi Pass Wifi Trên Win 10, Xem Nhanh Mật Khẩu Wifi Đã Kết Nối Windows 10

*

lấy ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ tất cả hạng bé nhất.

*

lấy ví dụ như 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ lớn nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ cùng $A^*$ là ma trận phụ đúng theo của $A,$ khi đó ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minc xem bài bác giảng trên đây:https://tieudung24g.net/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán thù minh chứng về hạng của ma trận

Ta sử dụng các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là hai ma trận bất kì sao cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là hai ma trận vuông thuộc cung cấp.

lấy ví dụ như 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ bằng lòng $A^2=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

ví dụ như 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ có $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ Chứng minch rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ cùng với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ chia không còn đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

lấy ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta tất cả $r(B)=r(C)=1$ cùng $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Lúc Này tieudung24g.net thi công 2 khoá học tập Toán thù cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học hỗ trợ vừa đủ kiến thức và kỹ năng cùng cách thức giải bài xích tập các dạng tân oán kèm theo mỗi bài học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng Tự luận có giải thuật chi tiết tại trang web để giúp đỡ học viên học tập nhanh khô với vận dụng chắc chắn là kỹ năng và kiến thức. Mục tiêu của khoá học tập giúp học viên ăn điểm A thi cuối kì các học phần Tân oán thời thượng 1 và Tân oán thời thượng 2 trong các trường kinh tế tài chính.

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học tập được combo này:

- ĐH Kinc Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương thơm Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

với những ngôi trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của các ngôi trường ĐH khác trên mọi toàn nước...